AtCoder ACL Contest 1 : B - Sum is Multiple

レート微増だった回。
https://atcoder.jp/contests/acl1/tasks/acl1_b

問題

正整数Nが与えられる。
1+2+...+kがNの倍数となる最小のkを求めよ。

解法

k*(k+1)/2がNの倍数なので、k*(k+1)が2Nの倍数ならよい。
2Nをa*bと分解できるとき、kがaの倍数で(k+1)がbの倍数となる最小のkを求められるとよい。
これは

• k % a = 0
• k % b = k-1

を満たすkを求める問題ということになるので、中国人剰余定理に持ち込める。

a*bのパターンを総当たりしながら、中国人剰余定理を用いてkの候補を探していけばよい。

ll N;

ll ext_gcd(ll p,ll q,ll& x, ll& y) { // get px+qy=gcd(p,q)
	if(q==0) return x=1,y=0,p;
	ll g=ext_gcd(q,p%q,y,x);
	y-=p/q*x;
	return g;
}

pair<ll,ll> crt(ll a1,ll mo1,ll a2,ll mo2) { // return (x,y) y=lcm(a1,a2),x%mo1=a1,x%mo2=a2
	ll g,x,y,z;
	g=ext_gcd(mo1,mo2,x,y);
	a1=(a1%mo1+mo1)%mo1;a2=(a2%mo2+mo2)%mo2;
	if(a1%g != a2%g) return pair<ll,ll>(-1,0); // N/A
	__int128_t lcm=mo1*(mo2/g);
	if(lcm<mo1) return pair<ll,ll>(-2,0); // overflow
	
	__int128_t v=a1+((a2-a1)%lcm+lcm)*x%lcm*(mo1/g);
	return make_pair(((v%lcm)+lcm) % lcm,lcm);
}



ll hoge(ll a,ll b) {
	if(__gcd(a,b)!=1) return 1LL<<60;
	
	auto c=crt(0,a,b-1,b);
	if(c.first==0) c.first+=c.second;
	return c.first;
	
}

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	cin>>N;
	N=N*2;
	ll ma=1LL<<60;
	for(ll a=1;a*a<=2*N;a++) if(N%a==0) {
		ma=min(ma,hoge(a,N/a));
		ma=min(ma,hoge(N/a,a));
	}
	
	cout<<ma<<endl;
	
	
}

まとめ

うまい感じでCRTを持ち出した問題。