yukicoder : No.2413 Multiple of 99

落ち着いて考えればシンプルだった。
https://yukicoder.me/problems/no/2413

問題

整数N,Kが与えられる。
Leading 0を含むN桁の正整数Xのうち、99の倍数のものについて、各桁の和のK乗の総和を求めよ。

解法

各桁の和ごとに、その組み合わせを成すパターンの個数を考える。
Xが99の倍数であるためには、

• 各桁の和が9の倍数である
• 奇数桁目と偶数桁目の和が一致する

を満たさなければならない。
まず、奇数桁と偶数桁それぞれ、桁の総和がある値になるパターンを数え上げよう。
これはD桁の整数であれば(1+x+...+x^9)のD乗を計算すればx^nの係数は総和がnになるパターンを数え上げられるので、FFTで容易に求められる。

奇数桁と偶数桁について、上記多項式についてxの(11n+k)乗の項だけ抜き出したものを、FFTで掛け合わる、というのを各kに対し行おう。
こうして得られた多項式の各係数は、総和が11の倍数であるものに対応することが確定している。あとは桁の総和が9の倍数のもののみ取り出せばよい。

int N,K;

const int mo=998244353;
ll modpow(ll a, ll n = mo-2) {
	ll r=1; a%=mo;
	while(n) r=r*((n%2)?a:1)%mo,a=a*a%mo,n>>=1;
	return r;
}

template <class T> using vec=vector<T>; //using vec=valarray<T>;

template<class T> vec<T> fft(vec<T> v, bool rev=false) {
	int n=v.size(),i,j,m;
	for(int m=n; m>=2; m/=2) {
		T wn=modpow(5,(mo-1)/m);
		if(rev) wn=modpow(wn);
		for(i=0;i<n;i+=m) {
			T w=1;
			for(int j1=i,j2=i+m/2;j2<i+m;j1++,j2++) {
				T t1=v[j1],t2=v[j2];
				v[j1]=t1+t2;
				v[j2]=ll(t1+mo-t2)*w%mo;
				while(v[j1]>=mo) v[j1]-=mo;
				w=(ll)w*wn%mo;
			}
		}
	}
	for(i=0,j=1;j<n-1;j++) {
		for(int k=n>>1;k>(i^=k);k>>=1);
		if(i>j) swap(v[i],v[j]);
	}
	if(rev) {
		ll rv = modpow(n);
		FOR(i,n) v[i]=(ll)v[i]*rv%mo;
	}
	return v;
}

template<class T> vec<T> MultPoly(vec<T> P,vec<T> Q,bool resize=false) {
	if(resize) {
		int maxind=0,pi=0,qi=0,i;
		int s=2;
		FOR(i,P.size()) if(norm(P[i])) pi=i;
		FOR(i,Q.size()) if(norm(Q[i])) qi=i;
		maxind=pi+qi+1;
		while(s*2<maxind) s*=2;
		
		if(s<=16) { //fastpath
			vec<T> R(s*2);
			for(int x=0;x<=pi;x++) for(int y=0;y<=qi;y++) (R[x+y]+=P[x]*Q[y])%=mo;
			return R;
		}
		vec<T> P2(s*2),Q2(s*2);
		FOR(i,pi+1) P2[i]=P[i];
		FOR(i,qi+1) Q2[i]=Q[i];
		swap(P,P2),swap(Q,Q2);
	}
	P=fft(P), Q=fft(Q);
	for(int i=0;i<P.size();i++) P[i]=(ll)P[i]*Q[i]%mo;
	return fft(P,true);
}

template<class T> vec<T> pow(int N,vec<T> C) {
	vec<T> R={1};
	while(N) {
		if(N%2) R=MultPoly(R,C,1);
		C=MultPoly(C,C,1);
		N/=2;
	}
	return R;
}

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	cin>>N>>K;
	vector<ll> A={1,1,1,1,1,1,1,1,1,1};
	vector<ll> B=pow(N/2,A);
	vector<ll> C=pow(N-N/2,A);
	vector<ll> D[11],E[11];
	FOR(i,B.size()) D[i%11].push_back(B[i]);
	FOR(i,C.size()) E[i%11].push_back(C[i]);
	ll ret=0;
	FOR(i,11) {
		vector<ll> F=MultPoly(D[i],E[i],1);
		FOR(x,F.size()) {
			y=i*2+11*x;
			if(y%9==0) ret+=F[x]*modpow(y,K)%mo;
		}
	}
	cout<<ret%mo<<endl;
}

まとめ

9の倍数と11の倍数の特性はわかっていたのに、なぜ答えにたどり着けなかったか…。