kmjp's blog

競技プログラミング参加記です

Codeforces #314 Div2 E. President and Roads

手抜き回答を反省せねば。
http://codeforces.com/contest/567/problem/E

問題

コスト付有向グラフが与えられる。
ここで頂点SからTに最短経路で移動することを考える。ただし最短経路が複数ある場合、どこを通るかわからない。
このグラフについて、各辺のコストを最小で1まで下げることができる。

各辺について、以下のどれに該当するか答えよ。

  • 何もしなくても、この辺は必ず通る。
  • コストをいくらか下げればこの辺は通る(その場合コストも答えよ)
  • コストをどれだけ下げても通らない。

解法

まずはSから各頂点およびTから各頂点への移動コストをダイクストラ法で求めよう。
頂点A→Bに向かうコストCの辺が最短経路中にあるかどうかはdist(S,A)+C+dist(B,T)==dist(S,T)かどうかで判定できる。
最短経路中にないなら、dist(S,A)+C'+dist(B,T)==dist(S,T)-1となるようなコストC'までコストを下げる。
C'が1未満ならこの辺は通らない。

問題は、最短経路になりうるが必ず通るかわからない辺の判定である。
そのような辺は、コストを1下げることで必ず通るようになる。
これは(S→Aの経路数)×(B→Tの経路数)=(S→Tの経路数)であればこの辺は必ず通るといえる。
ただしこの計算は多倍長整数でないと正確にできない。
(適当な剰余を取って計算できるかもしれないが、経路数のDPは加算乗算を含むので狙い撃ちで落とすことができる。実際10^9+7や10^9+9の剰余だとsystestは通らず、10^9+21なら通った)

別の方法で必ずこの辺を通るか判定するには、二重辺連結成分分解を行いその辺が橋になるか判定すればよい。

class SCC_BI {
public:
	static const int MV = 210000;
	int NV,time;
	vector<vector<int> > E;
	vector<int> ord,llink,inin;
	stack<int> roots,S;
	vector<int> M; //point to group
	vector<int> ART; // out
	vector<vector<int> > SC; // out
	vector<pair<int,int> > BR; // out
	
	void init(int NV=MV) { this->NV=NV; E.clear(); E.resize(NV);}
	void add_edge(int x,int y) { E[x].push_back(y); E[y].push_back(x); }
	void dfs(int cur,int pre) {
		int art=0,conn=0,i,se=0;
		ord[cur]=llink[cur]=++time;
		S.push(cur); inin[cur]=1; roots.push(cur);
		FOR(i,E[cur].size()) {
			int tar=E[cur][i];
			if(ord[tar]==0) {
				conn++; dfs(tar,cur);
				llink[cur]=min(llink[cur],llink[tar]);
				art += (pre!=-1 && ord[cur]<=llink[tar]);
				if(ord[cur]<llink[tar]) BR.push_back(make_pair(min(cur,tar),max(cur,tar)));
			}
			else if(tar!=pre || se) {
				llink[cur]=min(llink[cur],ord[tar]);
				while(inin[tar]&&ord[roots.top()]>ord[tar]) roots.pop();
			}
			else se++; // double edge
		}
		
		if(cur==roots.top()) {
			SC.push_back(vector<int>());
			while(1) {
				i=S.top(); S.pop(); inin[i]=0;
				SC.back().push_back(i);
				M[i]=SC.size()-1;
				if(i==cur) break;
			}
			sort(SC.back().begin(),SC.back().end());
			roots.pop();
		}
		if(art || (pre==-1&&conn>1)) ART.push_back(cur);
	}
	void scc() {
		SC.clear(),BR.clear(),ART.clear(),M.resize(NV);
		ord.clear(),llink.clear(),inin.clear(),time=0;
		ord.resize(NV);llink.resize(NV);inin.resize(NV);
		for(int i=0;i<NV;i++) if(!ord[i]) dfs(i,-1);
		sort(BR.begin(),BR.end()); sort(ART.begin(),ART.end());
	}
};
int N,M,S[2];
int A[101010],B[101010];
ll L[101010];
vector<int> E[2][101010];
ll dist[2][101010];
SCC_BI scc;

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	cin>>N>>M>>S[0]>>S[1];
	S[0]--,S[1]--;
	FOR(i,M) {
		cin>>A[i]>>B[i]>>L[i];
		A[i]--,B[i]--;
		E[0][A[i]].push_back(i);
		E[1][B[i]].push_back(i);
	}
	
	FOR(i,2) {
		FOR(x,N) dist[i][x]=1LL<<60;
		priority_queue<pair<ll,int> > Q;
		dist[i][S[i]]=0;
		Q.push({-dist[i][S[i]],S[i]});
		
		while(Q.size()) {
			auto r=Q.top();
			Q.pop();
			ll co=-r.first;
			int cur=r.second;
			if(dist[i][cur]!=co) continue;
			
			FORR(r,E[i][cur]) {
				int tar=(i==0)?B[r]:A[r];
				if(dist[i][tar]>co+L[r]) {
					dist[i][tar]=co+L[r];
					Q.push({-dist[i][tar],tar});
				}
			}
		}
	}
	
	scc.init(N);
	FOR(i,M) {
		ll best=dist[0][S[1]];
		ll my=dist[0][A[i]]+dist[1][B[i]]+L[i];
		if(best==my) scc.add_edge(A[i],B[i]);
	}
	scc.scc();
	set<pair<int,int> > br;
	FORR(r,scc.BR) br.insert(r);
	
	FOR(i,M) {
		ll best=dist[0][S[1]];
		ll my=dist[0][A[i]]+dist[1][B[i]]+L[i];
		
		if(best==my) {
			if(br.count({A[i],B[i]})) cout<<"YES"<<endl;
			else if(L[i]>1) cout<<"CAN 1"<<endl;
			else cout<<"NO"<<endl;
		}
		else if(dist[0][A[i]]+dist[1][B[i]]<best-1) cout<<"CAN "<<my-best+1<<endl;
		else cout<<"NO"<<endl;
	}
	
}

まとめ

経路数計算は加算乗算を含むのでやたらにmodを取って対処するのは狙い撃ちできて危険。
覚えておこう…。